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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 V+)P PU+  
n:-(_vI)  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. U Q+ppC`0  
T W?1 Ww  
  1、三角函数本质: +*2Z~km_V  
CU9.}mJ)  
  三角函数的本质来源于定义 $yJHn MQ  
t-i(W0  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3%b!|fk  
_W_fW^~Lme  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 >4g~^SD  
#a^V"$L  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: A#VwF<  
yiS%z7-  
  推导: C@>L&vwbf  
{@#M(b8qH  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 <XZYEmeA=  
x%isbAx  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) r"gP&V  
]9, @AX~L  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) OZ]$9s~t  
KOA8o}  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Rueo+$|z  
* RD"&E;  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) P`WXxZG  
,VP@^q/hR  
  [1] E["V^;q y  
2q%>!kh  
  两角和公式 [,?B2t%  
,9J[rv3  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB "ti@DOF  
F"X X'g)  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ?o$h\Tn  
w:I.td\<  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $?+!)[2,/  
YUTEC4a55  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB V}Kp2{6d]  
[{JqE(sh[  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) u&mqki&u  
i_?m0(3   
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) BXAb!_P?  
?o}/ $cIT-  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  0`"m_^]+  
xvNSDyk  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^ C-b  
AqW:Unp  
倍角公式 gK~GsK  
BF4<4/uz&  
  Sin2A=2SinA•CosA C^ <.r  
Bl \:4?  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ZO7T`{'A  
?KhC,mMj  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) .w1t * w  
65%nU-/zb$  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ,FYuHfOX>  
)Of7Ik9j=  
三倍角公式 DF OU2  
UWor%H~\  
   li4n /W&  
6Hx?P77X%  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) EN)6!{  
qJ-8[  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) %8oh=)8v{  
L#XR,ML  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F-=#(<u'  
Q5O{ gD G  
三倍角公式推导 ZGB3'  
!(vNzbY"=  
  sin3a PNl')W  
]:(wp3n  
  =sin(2a+a) U=q{Tp}*  
q+z+/MX_l  
  =sin2acosa+cos2asina *>jU0He1  
?S6LB7|G?  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina N~^<UK  
]xcU+&] 0Q  
  =3sina-4sin³a &U]=|j YI  
N(2WqDxCi1  
  cos3a P Q>IY <T  
=6BMEnURB  
  =cos(2a+a) tqC)cFF9  
\v"~;Rk(_  
  =cos2acosa-sin2asina )^$8^Nt  
(_]Z}+ %  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2m?s~%`  
@7?No4D_bE  
  =4cos³a-3cosa *!}xTBca  
F*pn_G^/  
  sin3a=3sina-4sin³a lv`_dy\  
T6^/5Z-  
  =4sina(3/4-sin²a) E/ y"c}v  
F *B=-/p&!  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 9F`^bo4C  
fgxhx@}M9  
  =4sina(sin²60°-sin²a) ?3n5D%6r  
<1+ +3">  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |s:f'fvw  
uvaSuW*.  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] kP`|:?  
\6t`LcEX0  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -Yxk2M'+F  
\r7Vp+<  
  cos3a=4cos³a-3cosa q`,!t"~  
t<^C_*(o  
  =4cosa(cos²a-3/4) RWSc9CSs  
M8k*0+g  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] ~3>*9]k  
jVc<t# 1  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) " ^$Vl!=j  
`3%`Aw r  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =xq pxrc  
~RS(*dH  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 8!&9z8  
'6_E& &?  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) dQsOc\p  
B[mS]  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] w !4(1]  
8`n=Dh+8  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] EX]}jl\D  
Gr$wZRI  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U=4xm8pwa5  
oz5WkUd#4  
  上述两式相比可得 88f"O(0c  
.BP-(37p  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) PpW?K?A  
X(k4 ,O`|  
半角公式 }%~:lL>*V,  
>a12=m?v  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ->u|JGp  
9#Ao"`CJ  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Tz8}' Q  
,(S e2p.  
和差化积 Kt,<O')S  
M&;zk:M|  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] J.Z >w>~U  
[:(VnrX  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >/Nk3/S:  
0X&FtbA-  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \~k*r_j  
Bh_()Im  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \aB]`X$C#P  
3LKx}u@ |  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) [$Nx#Wl  
28'bXH%R'%  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) IJ`U0i{V  
YQeWorj  
积化和差 yuv N+&8;  
dgJgn;l  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Vx"q!h-  
pS\5:Pd5  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] LDf5m_qBs~  
=T+!  ]}  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] EDRY^U+WoN  
W9 ,<K "*  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Rf+P |,=5)  
_tSuFeFz#  
诱导公式 [l%)]nH  
<rV <"UD=  
  sin(-α) = -sinα YA \[Beg=  
m}(,v|gWE  
  cos(-α) = cosα |TB]6j*L  
(A]\g^  
  sin(π/2-α) = cosα <O?iA^|  
^e;L\t$P+"  
  cos(π/2-α) = sinα K/ 7AE5l  
 ZFm0+|  
  sin(π/2+α) = cosα t3E6D3h}H  
rjJ2e vn  
  cos(π/2+α) = -sinα 2rjMOG&sR~  
~g1fE0:*~  
  sin(π-α) = sinα ]A p%;X?  
9s j7L<g  
  cos(π-α) = -cosα xNa{6FrU  
7XN\d4  
  sin(π+α) = -sinα xO% OU+=A  
.P^6 :-  
  cos(π+α) = -cosα I=yspo#/  
31+F`6Q<:\  
  tanA= sinA/cosA uI(,WX"  
B_7>|MzNE  
  tan(π/2+α)=-cotα  w6_;J%d  
%+l/9]  
  tan(π/2-α)=cotα [[ Xyqt$  
>Q!8=?+=:  
  tan(π-α)=-tanα fT=v^~H  
Z71 P/i  
  tan(π+α)=tanα ]_B)S3$4  
*#U='v%  
万能公式 tnU h3j  
@bGFz #x  
   F)9"~E\w  
B - $K#  
其它公式 9pF<(k f  
a6phRU96M  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 2>{)WU  
A5Jgi4=  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 y3des6=@'  
93AHkdu  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 Xjpr?T`#  
HlJf#<  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L5.0;5_v  
}_.!"olim  
  对于任意非直角三角形,总有 ZmZ>4~Ij  
^#p#zFmsj  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC n[<f5dJy  
u<ha<s#d  
  证: %{D0;r@*.  
iDU!N'J  
  A+B=π-C .QR"I!cHuZ  
y$5Dko-  
  tan(A+B)=tan(π-C) WOOHK~O:]A  
Dw6YbK{aU  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) [ &nDtz;ox  
(X?F}L<  
  整理可得 BN Xtz  
f7GjQn/i  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `RJo CrO  
bGi x;^  
  得证 l0oLdGSA  
?a S!a  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 DX1Rh/`  
LL2?*a 6  
其他非重点三角函数 Y7-\&z&8f  
"_se Z.j5  
  csc(a) = 1/sin(a) HzncjCS  
,2SB x?w5S  
  sec(a) = 1/cos(a) C7vg>ehI  
IY"(d/H  
   mdzLlA1x  
`e.Q/d  
双曲函数 *s}6pvK  
:b+?:O\P  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cHn F^^Kd  
  #j  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8,Q59z_  
29s* G}.  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Mm^<L%M  
V%i"6vZkD)  
  公式一: ] pE3SK  
evQ6f %  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: BhsA{F  
d>'S>y.!  
  sin(2kπ+α)= sinα " \AGcy0  
3460_at*z  
  cos(2kπ+α)= cosα B tUt0   
vk!B. pv  
  tan(kπ+α)= tanα <bJr|p  
BTM ne}   
  cot(kπ+α)= cotα kU{9*H~  
6x^DBOw(  
  公式二: :-& Y*  
N&Pm!%^$  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: OGy Qu/xt  
+#i!(s>  
  sin(π+α)= -sinα gb|I..] ^  
[-)A[L  
  cos(π+α)= -cosα o3%V|gR:  
6h= h-&  
  tan(π+α)= tanα Nlj&]~e2vC  
]V$wn}&Q s  
  cot(π+α)= cotα #D H,Y  
K=b' a0  
  公式三: a>*lzc*  
nt7R(79?  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ^Z)wO;[56h  
ae#8 b,x  
  sin(-α)= -sinα ~v!HhS]  
6 6 ~gV?  
  cos(-α)= cosα )c L:I~W  
)Z 6k  
  tan(-α)= -tanα _d7 AU  
}6Ym(gA|  
  cot(-α)= -cotα oVAKOu+>~9  
<<<7A,0nI~  
  公式四: \"Bc xu>A&  
rDwbL'A  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: V\}TeE<k  
6= xkxuM  
  sin(π-α)= sinα %=s_2,Ni  
wg#`"Q,A  
  cos(π-α)= -cosα m:iys,"v;  
lYq5mtR,0  
  tan(π-α)= -tanα -*w'!B9fS  
O'#H91NVA  
  cot(π-α)= -cotα 5 ^elc5Hz;  
9S[Yw}  
  公式五: 94%/iag1  
) ) vG?J  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: SDJkmaJu#9  
y7a`r0AiAw  
  sin(2π-α)= -sinα Z{>Fx?Pc  
@! wf#+  
  cos(2π-α)= cosα D[1-<DvKK  
:hH/"+Web  
  tan(2π-α)= -tanα (CN"Zo5  
dE(o@EI  
  cot(2π-α)= -cotα VgCZ{h|  
cG<KXJ  
  公式六: z('l2VXz  
%i(#38B  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ).lXpT..  
5t])N=RW&[  
  sin(π/2+α)= cosα SMeXyr/t  
57_YZ<w/  
  cos(π/2+α)= -sinα ){/z Zo+!  
 IMzB  
  tan(π/2+α)= -cotα 9>OeUzo,P  
HZ'Dnk9  
  cot(π/2+α)= -tanα XN$pY4Bh  
~3 RkEuw  
  sin(π/2-α)= cosα 9+:!MfNtU  
\Hh>RG-  
  cos(π/2-α)= sinα jgGP:mV/NO  
;=cEb8  
  tan(π/2-α)= cotα qZ\ LclGq  
{Kn<E!"e|  
  cot(π/2-α)= tanα , LvJ=*M`  
^<dg&5h  
  sin(3π/2+α)= -cosα hJ,F#o*k  
j0L@ l|  
  cos(3π/2+α)= sinα _xo@Q;.2)  
5Sz/Pti/5  
  tan(3π/2+α)= -cotα DLqFQ1@>  
/\at{mZX  
  cot(3π/2+α)= -tanα e(}uH&y65  
Q@")=&V>  
  sin(3π/2-α)= -cosα bC%z|s<  
.+V.iNVWyO  
  cos(3π/2-α)= -sinα 0tY%h[vN<g  
"AEZ]yfy1  
  tan(3π/2-α)= cotα y>#Q]pBC"  
=Y>2wpIkVJ  
  cot(3π/2-α)= tanα g'MsG5}B  
%5<X. N2X  
  (以上k∈Z) fhmh&|?IY  
Xmi"*KH@  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 9)s %Fp  
73%R<EgyV  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /kr#g# P  
2o)=cghP  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ( WfUHa jX  
b`f>OhU-s  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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