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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 FFeHHN<q$  
Q4g{9*#`  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. #n+`A8u  
[+is&&l)p  
　　1、三角函数本质： jOOQ9{Jrs  
PE-]<|0a  
　　三角函数的本质来源于定义 F{y]-Z<X7  
Xo @IJY  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 P"so?{V  
t_mmtH  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 /^a@)u _  
(ZRFH[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： zU%pOeIQ  
`iKQ&1<*  
　　推导： {~ymkBBL  
fI/M.t7  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 m6R9T{  
/otb>P1  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +a4:{WZ-  
"nMJ4(P  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Yq2pb  
b0V96?Q%  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 xrWhGJ$w  
Y4 %B&  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） -7@gJu  
"ls'aIQ1!  
　　[1] HJs92vO  
j 0W *:*J  
　　两角和公式 DE'x^i6L  
d&'lx/p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB :)_p]!E44  
co~E  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  -iWV5q!cr  
=u"xI!J  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 4FHI! 5  
Zq.OZ`*b^  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =Dhqefk @S  
$MVszF]o  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) YQ;IQ%^IL  
~nfFZD%  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) %nn8Qz#   
&X 2v'm  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  xe&YOLP  
JK=ux|GP  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ( 8k\Dq  
4'ae !  
倍角公式 !vPZqW+`!"  
\p7=`n:{<  
　　Sin2A=2SinA•CosA |cghJ  
8LV < MO-  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Sm Mv`  
!do`[2e3C  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |hWaGYf  
-rJI1vGns  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） w7*0'FzByq  
#G+G"r}X  
三倍角公式 !`Bq;Kj  
q8 qC\a  
　　 =wK-1=#P  
Yz (ZFJG  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0'Ph*<yJ  
anFZUB;hj4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 0U*\VSS  
@ *G's-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) C[:N 2/\_  
?Wm Vet  
三倍角公式推导 e8~i:V F  
J6~465i dD  
　　sin3a G+8J(!Ug  
PlLz'qGmK#  
　　=sin(2a+a) o\dLHw?*  
c/-Wka} 0  
　　=sin2acosa+cos2asina '{\Y3nL&i  
j +<kTp  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p| MLFH5M  
f^;'c~  
　　=3sina-4sin³a dj"xB[4R  
J9GI"szY  
　　cos3a >jaI>Y  
u\)Nty  
　　=cos(2a+a) zI< DJ%  
b/ix8{28  
　　=cos2acosa-sin2asina fe2"-Ai  
LT^&7:6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa (N\_[S,aE  
DWffqB/Sv  
　　=4cos³a-3cosa v3|'"QQ  
K I1On{  
　　sin3a=3sina-4sin³a f<6 8j)  
]rE!#a  
　　=4sina(3/4-sin²a) H5_kkHXo-  
_,U$uvM0z4  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] rlafm9F  
1zEu0y!z  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /v]\D2  
"3Jqu\:  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @'K8~ ;\  
Xg6+L0mD  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] t!)e/G)N  
DII{eWjo  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) u_ G5  
Y7w_ 9|s  
　　cos3a=4cos³a-3cosa i",qEg 0=+  
zvh?!^p  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [AZuRP@  
]Y Qh-6<k  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] td9D2d)  
ja\=,{}<  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) @U&[6.:  
,%O9 ab&p  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]}rh\ j2  
+D|ePO V  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} mcSq1Zq  
HqsEu1rrd  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) aIV2Rhv,w  
)4I MG  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "z>#~.+uz  
2_s   
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] D>g /!4  
g{/p#   
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B5UkMRA~~\  
Rlel   
　　上述两式相比可得 1Q} Y  
&Kj&-|w  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 2P hm<%  
TJOw@iw'G  
半角公式 8Bc*3xIL  
\,lk"Z.@  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); mT:}[ D  
f5kg7p/c   
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. W`r6w?Q]  
H}MOaWT7  
和差化积 n=uhX3E  
3 P9  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &Abds, El  
uB4(>Ts  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uG}BujnHM  
:aDqnppRQ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mE?%S=,gD  
5~BEgR4x  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +/y @1  
PksR*#}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ]$o`/w [U  
BeM9k+Z9  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) F*K8Ckz  
Eow }rn  
积化和差 ~MGMy|}  
ZyN>!Ng  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /_ n|@WAxC  
cFQO5fXN  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] :HK* ^l  
dFU,$xej  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -dOP9TW3  
YSS.tPx1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] y0SNs2^h  
y-j#bD9~>!  
诱导公式 Yp 'Lb  
O-<U++{D  
　　sin(-α) = -sinα P)DbL[f`  
,%3,inM  
　　cos(-α) = cosα A)"V )g,  
8IUTwF*NS`  
　　sin(π/2-α) = cosα x$) KRhrs  
C+ab).=  
　　cos(π/2-α) = sinα ~ooKzQUZ  
O'n&Y 'i;  
　　sin(π/2+α) = cosα fB582Eg3  
p%i0fFW  
　　cos(π/2+α) = -sinα F%v4-9R^l  
.lh"e  
　　sin(π-α) = sinα ~Wk^cJ.  
)F]C16@w  
　　cos(π-α) = -cosα z/"V<>-p  
o:<QR#r]2  
　　sin(π+α) = -sinα A]F)P*,.Mv  
Yy3?q N\F;  
　　cos(π+α) = -cosα G{3-;z> "  
1$0~s7e   
　　tanA= sinA/cosA HTV R}p` k  
9x$vLSF-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα }J;] =  
`e(G[ 6X  
　　tan（π/2－α）＝cotα \0xa'Xy.  
%DtfkFz{:  
　　tan（π－α）＝－tanα 'Q|9CA-  
F/p{ncNE4X  
　　tan（π＋α）＝tanα pnT4MS"Z  
@d+!&J{  
万能公式 _;O|.3,Lx%  
vG3#\1lz  
　　 W[oX<v\X D  
[_0&t?#  
其它公式 ;]Hpvz,bB  
?e<[W  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~ 3h#9  
S;cZny&+  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 nUTTqOh  
?`2cs w#H  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ac=v0Z"P"  
+>/v4mUOE  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {j C We*  
O#;9Tb-x %  
　　对于任意非直角三角形,总有 #`xOnG/q  
tY%]X._j09  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC o034=1A  
/4H.m t1  
　　证: J1G@;v9I2  
n.I5$,  
　　A+B=π-C y8YJ,Ig  
&<^%U07~  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5`p&{N.;  
umyckWn?|  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) KNa;f#'M>b  
Z*l'K8W  
　　整理可得 x#m~Yy !  
Sb=879  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC vN ot,Vf9  
>- -Z R1  
　　得证 %!QDb' gY  
z}>kr[yh  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6%VX!Q+/  
T;`> *>A;  
其他非重点三角函数 9;Fq}xo:?  
a\/DfI  
　　csc(a) = 1/sin(a) DGB+Bno^[  
zcd@o~y  
　　sec(a) = 1/cos(a) 0%hlo Ea;  
v6(N'$#C  
　　 6~^98a8[  
O 4m.x8  
双曲函数 9O)cauk  
U} [Fu<  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 yR2'jyG=^V  
%r >^%Zjj  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 cEGW{j NS  
TWC"Ktz  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) o5I2A  
(:1. p_\4  
　　公式一： xP8m5``  
:;l[/sE1  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： rod!Tc   
zkld]/njR  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 8,.EI#:M  
f%cNRf  
　　cos（2kπ＋α）= cosα yI`2st=G  
y,' qA  
　　tan（kπ＋α）= tanα @ ;0-$%u  
.'>tw"*[  
　　cot（kπ＋α）= cotα ZL~rhK8A  
e ^ca'Q  
　　公式二： C_ XVD5"  
=1 /N&QQ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *H(l|;K6d  
L+Rf  
　　sin（π＋α）= -sinα t!83Z7\q}  
xtz2P  
　　cos（π＋α）= -cosα &/1`Jn  
&/ &qN.w  
　　tan（π＋α）= tanα ^Ss(!+(p>  
cO@0 Uf  
　　cot（π＋α）= cotα ="1# yV  
x20t= BH  
　　公式三： :!lK\'  
e'w3jG0  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5 =6EItad'  
nWG)$2NL  
　　sin（-α）= -sinα c_*\wi<a*L  
X! qy?Xyo  
　　cos（-α）= cosα 6BlzQL  
'J O<uZ  
　　tan（-α）= -tanα PmIvMhx  
OBdicti  
　　cot（-α）= -cotα 4""pJAF  
uk0;4D_  
　　公式四： =|MoUeOdvX  
M{mfi/C!  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： yd:,a^zB  
&nR~]N  
　　sin（π-α）= sinα *f-g^!  
V/NKT+a^sO  
　　cos（π-α）= -cosα xm tqauBi  
etu@Q+ 7  
　　tan（π-α）= -tanα Li`G*'9  
q/79UuZ,  
　　cot（π-α）= -cotα tYF tb<0  
xBj^^>X|  
　　公式五： y~SqdM"|  
B488yt)ne  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Q8-~@^dM[  
[){H^*|%6  
　　sin（2π-α）= -sinα G5>gY13;  
7Kz4sn>  
　　cos（2π-α）= cosα *>$6$W  
r$MGP={K^  
　　tan（2π-α）= -tanα ef#{<4Q$h|  
4PS8[9Q[_  
　　cot（2π-α）= -cotα SaE[Qf?  
(&X! IM@  
　　公式六： $+ ~VO  
F=NtJh o  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： PW lP~;j}  
TR/MVJQ  
　　sin（π/2+α）= cosα \JJt?LF  
(X04  
　　cos（π/2+α）= -sinα 0_VS|L)P  
i6cwJ/$  
　　tan（π/2+α）= -cotα _enEfl q  
dC;Fc\\  
　　cot（π/2+α）= -tanα A+8S|]+)  
^Gy0r   
　　sin（π/2-α）= cosα L[[liw[  
S<g#Ku{g  
　　cos（π/2-α）= sinα 9zZD'zK2f  
`'`){e\zn  
　　tan（π/2-α）= cotα _S2vj vn  
v@ULQ/  
　　cot（π/2-α）= tanα 8B6m"hw&+  
==RB_;  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 7E8t} O5  
kBopo`g-  
　　cos（3π/2+α）= sinα r*wkp~';yp  
1m Dlsj  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 6$zzXb|x  
oM&on6 2S  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 2a,Oue  
pBc`Ud^cj  
　　sin（3π/2-α）= -cosα &= )oM]$  
8W3{Y&vv5  
　　cos（3π/2-α）= -sinα a61rMu$q  
{Q c hn  
　　tan（3π/2-α）= cotα (yRVH40b  
)B#KW*}  
　　cot（3π/2-α）= tanα uHMQ"X  
V@[<_lR  
　　(以上k∈Z) rS!OT+q  
c$Mr6a  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 J|$Fs?'.U  
{|_(j  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = t3d`JU<>  
Gk{U[8  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } pp EL}\  
^2v-`O  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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