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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 5$)aZ ?-W  
vO{ hcCT  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 3fK+CFQT  
-+]`ZF &  
　　1、三角函数本质： { )Rg`mx  
oy1y$/@&Fg  
　　三角函数的本质来源于定义 'nA  
`'RbE2h2G  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 T "e|zHu  
4>(y [r  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 fwAG`F6 ,  
%1/s0$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J=9W; 5  
gh:6 z2L  
　　推导： BPp{o{iRc  
V38xffn  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 . ^HjWc  
gRs_ep=V  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 1k5Sr+?n  
!_8 od@)i  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Q/ZZ0a:  
@T<m8(a!  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 mGN%RdC  
!'WGE8={Tf  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^{?S-wDz  
tMm*K B*  
　　[1] ) ]06 a:  
WsiwLFQ  
　　两角和公式 !8+2x<MGW  
<+}m~'  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <#8gFNie  
"Pg?QTZc  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Pk/0C_(Q  
N4aZX1IKE  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB >/ z'/=J5  
AO<2H_~C4  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Fh-thn_w  
?8dQv  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) &G!!LK4 n  
e ! DQL  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Y'*$9E  
,$g4$03d  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8zYa8dk  
} )*p>*v9+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Cxz +@g}[  
\iTi)U(  
倍角公式 A kh;lWy  
'?bW,Qac{  
　　Sin2A=2SinA•CosA CD7_oWnp  
1,i&*G  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !`v .lq8|F  
As{;Y3z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） m%{37o>  
F(iv 36MF  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 1fm*P'V/  
@OPHSe,L  
三倍角公式 gOP71g[I  
{Y]I\66$hI  
　　 Ni3N3k  
942S05FS  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ;fx\<}[  
-Y2}g+XCf  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x9p\%h1-  
PNCXc}D  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x{m JQ^iF  
a`Ax!tWV  
三倍角公式推导 ={d2cu|  
Bjt#& ~/.  
　　sin3a pt`o  
l3C+X6lDb~  
　　=sin(2a+a) *Jy7?T  
no>Xp{Tj  
　　=sin2acosa+cos2asina %X*0*  
$ E[UsQH]+  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina VEgp H  
(DTbIr  
　　=3sina-4sin³a pXdB#Gvj7  
K2mu>!T]FM  
　　cos3a Zi&E8A=X3  
7,L &HX)  
　　=cos(2a+a) ?5F 8^ 3RP  
6B3$I(YI  
　　=cos2acosa-sin2asina g$0/@nP/  
b%&]$Aj3  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa )oY{iX  
tr)jb3ag=  
　　=4cos³a-3cosa tJ` jz  
qv$0ji  
　　sin3a=3sina-4sin³a "'W*)vyxw  
l;(X$Xcp  
　　=4sina(3/4-sin²a) f)Qc![  
8$gJtQN  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] E~wu3 r+It  
"_ x2\  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >vm:gy  
u0 il.[e  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) SEFZccf   
/ /s@_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?'#0BX}K<O  
> _9mX  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ZUvdgHT*L  
xQbT =UN  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'V&zHwaC@C  
IJ"4D=,,`  
　　=4cosa(cos²a-3/4) f(>)1g  
w,j\s"ys  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .PAv"U >^  
F=*ZP_69x  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) "8vCt|   
30>^$% @y  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) vr"2~MRII  
W<p*vsG  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vusccrvi3  
q4j~c>  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) xvSF}r4  
24O!=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &F.l89/\  
X-d<4 }cx  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ndD<,E  
C/,vP*&I/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) AVYqYRFCo  
}-o@.REj  
　　上述两式相比可得 "%ZSXS&u,6  
]TT2 oD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) iJBo t+L`  
p}=q~zsLS0  
半角公式 D4]ej}  
8-DQYw?  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Ccw9<Ha  
XV-b%3QS  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =,%For0  
T*Q1)@Y6<K  
和差化积 !?,vyq V6  
@ mfV#F[/r  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U?dLk=:SbT  
>pk2Jw9r  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] MD2t[PGg|`  
IAL {&Y  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;i <F\.3s  
i$Vat67SiL  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6zp M?5&I7  
;xC7hXM  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) aAw Z/4  
_m#Yt=  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w8&4-!U  
9/,%8G }{  
积化和差 #B#mAA  
'3#Q` P$k  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] lI_um-S  
-KfdH-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] o-[d.  
m8+ bn wU  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] qMWGFbi  
:;3!'.  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] s6XB-=  
cwHRi8B}  
诱导公式 GjT <;_L  
`E<R<jy  
　　sin(-α) = -sinα @_4dHs9i  
=DPL5K'c-  
　　cos(-α) = cosα aA+$gf  
+2V]=\*#  
　　sin(π/2-α) = cosα jrru4qW!G0  
VK= uy<  
　　cos(π/2-α) = sinα ss7 &=P&O>  
72Vi d.b \  
　　sin(π/2+α) = cosα yWx j)  
dppDrAK-s  
　　cos(π/2+α) = -sinα R`I,r}~  
+[@{X]  
　　sin(π-α) = sinα +Q'.YS^  
.@'9~ [~k  
　　cos(π-α) = -cosα *#i4 <#  
*!~'^z; wf  
　　sin(π+α) = -sinα 7*hk]+?\\i  
n@@o oKv  
　　cos(π+α) = -cosα 5l|bF'#4{  
`bV7wQ!#  
　　tanA= sinA/cosA cuhOJn  
62FdI$JS>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα }Ej#  
46?L u2 D  
　　tan（π/2－α）＝cotα 9 vK]zIjE#  
D_x 7K-  
　　tan（π－α）＝－tanα iz ^0=  
cv X>  
　　tan（π＋α）＝tanα jkdZ'y qm  
0z t(?h V  
万能公式 ZY%[([Cq  
C  mA  
　　 2sT`ap r+  
{r1 +@CC  
其它公式 {,g_<M  
`dnftn9  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 S-oep2ROY^  
sXDSj[\  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?JWpIL\d  
FnWVN}L$  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 w_Z"wF]Z  
c_CNG DgF  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 bN NsQ*  
4 {`J*$$  
　　对于任意非直角三角形,总有 mil p= 2lP  
Pl3cCy\vB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ht]]V"n2  
9qehwR" z  
　　证: 4 =^|A^l  
4DF+~* g  
　　A+B=π-C u3"xhxQa  
tRY)#D  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ]C|} 3vv?  
x| (7,a:  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^2<hsP>  
G{ubJy   
　　整理可得 ={w7`f  
"$p >hh  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC !ji6Hce  
%?K0kDAn  
　　得证 PK)_2ONmt  
WNk;;],  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 [Hh/3M  
pyDLf:_or"  
其他非重点三角函数 ']V3S   
iw D3#AT  
　　csc(a) = 1/sin(a) j;uy%Z:  
9lbGA  
　　sec(a) = 1/cos(a) }h"6B xb  
?1E|k^Xk  
　　 ~j 9UXD  
h H:<Rt  
双曲函数 j?o rt{if*  
I*WaE8c}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 TQR&L  
I|=% )j4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 <&46t>   
v: %pIB(O  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 0$]Pb^g  
4~l(#JW  
　　公式一： DY*jka<  
ede~!~N  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !Z,Qi,Ot  
&Dacx%;v  
　　sin（2kπ＋α）= sinα MV?zKxp;S_  
[LW ]ts:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `cY^7$N  
Z|y<-wCL0  
　　tan（kπ＋α）= tanα ;]T]#0  
}8eo&-[R  
　　cot（kπ＋α）= cotα J*hb>fUZM  
ij&1__t  
　　公式二： d5.v+  
@#JHN90f  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [5K]{Fz  
ai4 Ri.>z  
　　sin（π＋α）= -sinα =F_t32q*  
tM-xEY  
　　cos（π＋α）= -cosα 'Gs2jH1U+  
g%Z!u  
　　tan（π＋α）= tanα 8+V~  
EAZ0i-Z  
　　cot（π＋α）= cotα  *&\uj B~  
*U{+f;d %  
　　公式三： xt px4M=  
orV)Z7aEy  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： vc q%DVFW  
cWgNYc  
　　sin（-α）= -sinα Ppe] S>  
Bd?oDzetA  
　　cos（-α）= cosα HL$:GkD  
wwLuffi"#  
　　tan（-α）= -tanα "udGSRd  
>$7hG9Y2"  
　　cot（-α）= -cotα L;Ecl>tmY  
^A+w.1u~  
　　公式四： M*[K1%jb  
 DE a?y  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： }W^tzw  
<?dv1zJN  
　　sin（π-α）= sinα H 7uzB{  
6a?!{wTw  
　　cos（π-α）= -cosα fFkTX, n6e  
t0.js~&  
　　tan（π-α）= -tanα DOF+62:  
nOc[{}_  
　　cot（π-α）= -cotα j8[IOFi)  
d\A5D+  
　　公式五： ttIeHl}  
i[zRVX g  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： "^B+Z ?   
fBZvhew  
　　sin（2π-α）= -sinα "O.0K-Rdl  
or dv\=7  
　　cos（2π-α）= cosα _))Pho?R  
vufT8gS_c  
　　tan（2π-α）= -tanα /SbkUd  
'w"0:ZO  
　　cot（2π-α）= -cotα 0O;Bzmx|C  
M|h*;rPH  
　　公式六： 9y2km8j  
?H:BC]{  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： a7x &b=#  
ASwK+KT_v  
　　sin（π/2+α）= cosα !;CY I"]  
KUS1h57u  
　　cos（π/2+α）= -sinα E kyHU Ye  
}+cj64  
　　tan（π/2+α）= -cotα V~d+VlA  
Z+HexM4?{  
　　cot（π/2+α）= -tanα Vg$ n)AFx=  
[l"fzKBI~  
　　sin（π/2-α）= cosα /Iz_=EVLQ  
|{I J/k 5  
　　cos（π/2-α）= sinα 7z-!wg&&HO  
ssLdg7]/  
　　tan（π/2-α）= cotα /F zeKf  
}X'O@Y}0  
　　cot（π/2-α）= tanα x~by0E  
{ld69 I_`  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 3Tc+G9  
, PtN<1  
　　cos（3π/2+α）= sinα %3 +:5F4  
?*&NK- [  
　　tan（3π/2+α）= -cotα j,"I:b+Z(  
"pp`Fnb  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5#-%HV-eu  
&qj'xN{h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .HVT! 7cyI  
FX`"sH*0KU  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ~85>_3lMS  
Z|c%Wt  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1,61L#T  
*hW%Gej  
　　cot（3π/2-α）= tanα VRsL0<wm  
d3(]D=  
　　(以上k∈Z) N`ux  
P*afm""M  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?CJ&4R]*  
?o^//K  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :<\s &PG  
gBJY<^.  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } P9KmA5[  
J2,R`4PE+i  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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