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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 +HD{`ZH0  
@_-VDB  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. {l MHE=  
]CU'\ K& P  
　　1、三角函数本质： njF}j 6F  
d&B7374  
　　三角函数的本质来源于定义 zzOM9}  
Q ])(Ek|  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0V7/]D  
H Y1tBCGq  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Q\V7n.gV  
=}h@]hs  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： w0<Ca<D  
?,R(fzq^m  
　　推导： $'4KJt&  
&nq/F\_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 d:Rl4KZb=  
)ra80p_fx  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "nP_k l  
MU74V9z  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 53u*Zd%M_Y  
:S#o$g7B/  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ]" 2!&k7&4  
mv# 1{El  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） v&CbM 0  
8LjZwQH  
　　[1] `\},q  
x;)Izb9ut  
　　两角和公式 $o<P#N?1C  
&w\IXa  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB "M>+X$-4  
-e <,gn7-  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  a/`wCN  
aB3'ps3l  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB L\ysWs)h_  
I/W Bo+${  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB QIVBl2q%-  
{;+\L>#L:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 9~U"Ct  
3 J-jg|O  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) $DSYvL/G W  
ql)u  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  , HLt  
*Mg0'c,f4  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m'wW:V`h  
Du1G;Hg$  
倍角公式 @k !xqA"  
eAb3>s1  
　　Sin2A=2SinA•CosA .0qco|  
shzJD*6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =eCSXBYe  
%8sj(,  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） W=&\m4y  
"vX+ 3#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） OQ3B2-  
p$L^ BH  
三倍角公式 ][F:EIGJ.:  
@7;f/-/  
　　 ~ dypOQ  
syDR&qq*h(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) aLzY&yS  
nkz1\kj~/  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) AE: 3|P'>l  
lN[i G5F  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) xkX@zyJ  
@cu~5IL  
三倍角公式推导 '#DIf   
Hj$'L  
　　sin3a mqFG=53pT  
IJ1GnT+_  
　　=sin(2a+a) wvk9 ==]  
W[n%y0?7M  
　　=sin2acosa+cos2asina {Hj 8K3  
\#a>~I8  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina be5oHJ:r  
hkp,\Sh7  
　　=3sina-4sin³a G7HQ7KpP  
s"5#^yth7z  
　　cos3a % Kg'ky  
d;1HU MDK  
　　=cos(2a+a) nUWwp9J0M  
3*w"MR  
　　=cos2acosa-sin2asina K11Uh^]dw  
lh(*NExr[W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !S r8g_jF  
4d[=VJ->  
　　=4cos³a-3cosa vuL,{^J#  
-Xs::H">b  
　　sin3a=3sina-4sin³a qSw ZkN}  
*EfSOjC  
　　=4sina(3/4-sin²a) kT(mkZy  
Q}Pa<$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 69TJy'nnV  
HBi!5U  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) +^e '?Ee  
aV9@\Gxq  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CVA1&w  
x]oW2j)?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 4/,A]KJ  
+v8pUi  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 3k^jK,$  
0"P{JK\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Kx W`nWU  
An#@6&#%  
　　=4cosa(cos²a-3/4) :DpGi0A^  
$ IXNI 4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 2@yF4ZPc  
Cp?oNV,q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 4+Kk7M0k  
_ yp[0  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ML]xe[S:]  
<|-  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #kAZ  
Q' _Tt8Z>  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Pn`3Hg}  
n!e<F%fw<  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] e# HEQB  
# 1xIH  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @jWOh +65d  
@iM' n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) a!X\ltpnf  
;:o-] !  
　　上述两式相比可得 We6GS.J  
\ / f_@  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) uu;.tea =  
x6JOngy(  
半角公式 J7Do04  
Z^6W;'F=F  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Ha`mq<H]Bp  
rQ,Q66  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. #5%[B1  
&Y-5OIz04  
和差化积 lm A1o$q  
y;BO7'r  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] "bQe7O  
hQM>6  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uLRx9\_6A  
? DLxG\4B`  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \"lz4P1_9J  
p}}53R=mV;  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  @mz%e0  
m_~r@6VN2  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <_ g8(P#Zu  
e3(mOm?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) qB%ofk7ZEf  
1\v):\|`  
积化和差 wc?cAe]o  
y^-W$\  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q!5V ^E{-  
.ay[-F6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ( ?{(/|  
%.h}) I*  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 3E  OL  
O ^0PCga)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^$N|1~hp  
{1!, *  
诱导公式 QaA|66y{|S  
x:d:Dg4  
　　sin(-α) = -sinα tuKj($r  
Un~R+2IV  
　　cos(-α) = cosα o^wp8BW1K  
azi[FE+  
　　sin(π/2-α) = cosα _Mjva)~2  
YQx~)E<@5X  
　　cos(π/2-α) = sinα :J^_$t(e  
nufik[:g  
　　sin(π/2+α) = cosα _r#\yWA  
$'w)I_G`  
　　cos(π/2+α) = -sinα n7ch d%  
<OYP^ <z  
　　sin(π-α) = sinα =n7Dizw(  
0wOm J6/  
　　cos(π-α) = -cosα 8CT.6VUd.  
+,lyL=K'  
　　sin(π+α) = -sinα V+c(7qMVO  
2;nf:My  
　　cos(π+α) = -cosα (dbJ <U  
6n 8f; t  
　　tanA= sinA/cosA d\~<>\:PBY  
QuTy(E  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα SOM^WnLw!  
70 C9Z  
　　tan（π/2－α）＝cotα B^x-ak:  
o{M gKHB  
　　tan（π－α）＝－tanα z{k Zo55\^  
6?g.$E &1  
　　tan（π＋α）＝tanα tq{-cojqU  
Z ?Zp&br  
万能公式 7H!K\GOL  
QY,$ xY'  
　　 5z3Fa_Kc-  
9+8x#(T  
其它公式 D(H!-  
z W)Z#?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^\ NMq}x  
~P$5~+|  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \sxe+  
mr,M 3  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 T`Z*=b@  
t5V;NlV-  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 SMxXp?[  
e(A@JZ_FA  
　　对于任意非直角三角形,总有 :BNd*Y6  
0?sj C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC BC+ 9{ej'  
d;5t` wx5  
　　证: rO*?00N^  
o]y[ >/+,  
　　A+B=π-C gk }P{L9  
B9v?w45  
　　tan(A+B)=tan(π-C) :eL[0yOa=  
!TVe${QM  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) lg#mtrP  
>^D_ UGn#  
　　整理可得 Z!l&z?  
]IW|]o(p  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]=')$lRnN  
Wjm/5 |  
　　得证 r._Ry-Q  
LwD, <"Wg  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .6/n&zr  
ORf7Xn~<  
其他非重点三角函数 82Vxx\H  
kuj] xzT  
　　csc(a) = 1/sin(a) 9U\(yw  
 fmQzW^  
　　sec(a) = 1/cos(a) V[/hw=Ya,  
@l6}@);E  
　　 OW;{sl"{  
7|W(cb  
双曲函数 's5=g*L  
3Pr CcQ3 <  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 c]9CLJ   
E)6>sA9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 wj}z;}g3Z  
GK9? 7,?,f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) \+[q#wb%o  
8B3sl5  
　　公式一： wFt-WTy(  
e8\RF(Mx  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }sKP"iqo  
\U \jC 3  
　　sin（2kπ＋α）= sinα IImwY~  
W{1wN L8  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0s[5%Wv  
kN2u@U6P  
　　tan（kπ＋α）= tanα $(DAw?#\,  
#G)} ;u  
　　cot（kπ＋α）= cotα bO(FQ?DR  
sigk u=  
　　公式二： ! $'Pd6'm;  
}3Nk_;7'  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： \cFk  T_j  
PV|9  
　　sin（π＋α）= -sinα ]_EQ8?G  
b ZL \G^h  
　　cos（π＋α）= -cosα ;d1QMsU  
m?$D1  
　　tan（π＋α）= tanα 5.W*&c vh5  
bO!YHp}|u  
　　cot（π＋α）= cotα W;S @76  
7uOp+0{  
　　公式三： Z2o9Lqx\  
dRjUUo+x  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： nH iWifA  
HtK$-MO'  
　　sin（-α）= -sinα TwC8J<0  
r7{F2%z&  
　　cos（-α）= cosα |k*]1KP.  
Fb9C3cW  
　　tan（-α）= -tanα ~luGK"Y"  
BJ3gd  
　　cot（-α）= -cotα 6 z|d  
JXeUT (xb  
　　公式四： u#5$ro  
~{@cb!8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： n745da`V  
7U* NC  
　　sin（π-α）= sinα /NI#Z-(c  
/S ,"Xu8z  
　　cos（π-α）= -cosα %$kQ c:~"  
!GlZ'0<A  
　　tan（π-α）= -tanα -;iyU8#%  
 0m+-  
　　cot（π-α）= -cotα M08C6)vP9  
N)G{6:  
　　公式五： =kuk7D  
=Hz5^,:PC  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： C.*N.`gv&  
\f}U 0tK  
　　sin（2π-α）= -sinα {2? Tn1!  
ziH4euW  
　　cos（2π-α）= cosα ^P1HZV72g  
t2Jv]o{T  
　　tan（2π-α）= -tanα Y_j @si  
$Mjsd.][  
　　cot（2π-α）= -cotα T5d0[%  
e\?a]   
　　公式六： Zdv7s/F h  
$ Xm 2um  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： oy;l0V  
m:f);<LN  
　　sin（π/2+α）= cosα "MBT2V O  
|rl)E]O  
　　cos（π/2+α）= -sinα |"s 4*R  
>6twR!7B(  
　　tan（π/2+α）= -cotα Jz( dq!:Ya  
C+rx^n~Dv  
　　cot（π/2+α）= -tanα  W$yCC@F  
VEfe 77&B  
　　sin（π/2-α）= cosα 3aX:8LjE  
" `,nxIp  
　　cos（π/2-α）= sinα MZv%L  
T/cXUQlT  
　　tan（π/2-α）= cotα 1]{e;k%HM  
e!!-Ck`6S  
　　cot（π/2-α）= tanα IMMN=p  
!FKX`5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα T+Wb  
>Yu|[ dnG2  
　　cos（3π/2+α）= sinα 4_McQ:%j  
6qzeAO&)  
　　tan（3π/2+α）= -cotα &UTrrN{f  
1TskAr  
　　cot（3π/2+α）= -tanα >ef];~3c  
[ \-r[Wh  
　　sin（3π/2-α）= -cosα c(t"qXV]m  
8[x=@& T  
　　cos（3π/2-α）= -sinα .Q>hPL@n2K  
pW!!^*zo:  
　　tan（3π/2-α）= cotα J nVcai MC  
a)U=]**e<  
　　cot（3π/2-α）= tanα Dx?8o.  
dA\Y47:  
　　(以上k∈Z) }nQ{|P  
:7_W ,  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Uae/rVf9c  
\TM):ZO  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = +w=;.^).  
PKo:AF3VG  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d}|z{=M"  
K'>/-CpR[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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