日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Ub,]{R[  
(3k[` 5O{  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (l/<u)$  
~JS,:FL  
　　1、三角函数本质： S(%QZC.1(  
E@ b;n/D4+  
　　三角函数的本质来源于定义 *Ab7q1(3zs  
bTls Zy`  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 MckA>^ P0  
E/bN@!J  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #YmJUNCf  
/ )I"O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： y$eK/.CN  
Vv1G#e10  
　　推导： a kA[ UoE4  
;~ Ehi(J  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 `+ t5b=   
=Wj-I4n{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Yl_R98  
/FQ.#}}t  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) (>XB+etb!  
5RRh4Yx_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 EdHlnrSmiE  
|n[O%im;  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #$78]tL;(  
$VMd2i"  
　　[1] lPZz&  
s9G)9(  
　　两角和公式 #C1T]RGD]  
FW ^;^.T/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB r1jL]]!V.  
f9"fyAo  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <C 7bC5n?  
gw)*  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB bsXmAS.  
P3fJ5zf  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |^S) D!bp  
(-O$@Y;^  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kKg`"cC^  
#|xh@ l~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) [=iaeC&  
Mdel  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  51jpx0<},b  
M@Px?|${4  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) y&}@Cq  
5K%bJYUMK  
倍角公式 We^b  
F{# #DG  
　　Sin2A=2SinA•CosA j"- 1hQ  
qrD<rSnrR  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z-87NQ/ <  
c}C8lU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） N>rWw~\t  
}?c8kz  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） & uRk<  
)%sCm|  
三倍角公式 I;1#& z\ n  
ngdCtnJd=  
　　 s<<|B-P  
|W9wYDj  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $fa;uayWl  
F"Pj*/i  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) _M\Iwq'  
7$58  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~vcwgZ#Q  
jnGv;cG  
三倍角公式推导 R:ilR6Z  
SMWM!%sZ  
　　sin3a zCip@1>  
._uM\I  
　　=sin(2a+a)  /lp2&_  
Tti o\  
　　=sin2acosa+cos2asina bqWRh[o_  
b|VX <w  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ~ Ri@:`z  
|SF\ c8  
　　=3sina-4sin³a ;@mEnb  
$=!qo-|6<  
　　cos3a #+{4lu$mk  
e<tEtCkN  
　　=cos(2a+a) TF~0WtT,  
Imx)#Q!  
　　=cos2acosa-sin2asina tTX-.N3  
/AYqbN/Sq  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa hG&el!C3A  
?9#lag  
　　=4cos³a-3cosa O3K _;r{"t  
)xUS,w  
　　sin3a=3sina-4sin³a ^).>.>,S-  
DfBR3,h7t  
　　=4sina(3/4-sin²a) <pcRE%0]  
o[;&ox?  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4OaPYf6w  
UFdB[f  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `zcB~T_9r{  
~*saekJ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) LL<44xS  
8*PF $g  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] *zjZ*6lFz  
wdz Y 061  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cw|S ^f  
l*p:q[@ !  
　　cos3a=4cos³a-3cosa li"6  
q lF[@w  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =l"-Qp3N  
^ZH?io;/  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] & 5cV}s  
"Gv2JI`  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) pm |z1k  
,&?kM4T  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) d><_1:i  
b+uHm ~  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} }Z JmzD  
,JrbEw=@  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) kq;u!MXn  
qBAI~T97}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ol^e9o 9  
IL@BW[:F  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] q4~WrAb3  
aa0$;D   
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) xGngYn1[4  
\\#JLp  
　　上述两式相比可得 c8@ ti~?S  
bnT\6z=$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) (_wF'1uz  
ma[7=ai'>>  
半角公式 ja( X^  
v[m|ns+C  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Y8E{x7 iH  
8eK%H/s\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^BWJ*AsD  
DFfYCC;2g  
和差化积 m7OJ[?@mT  
DSn7VUo  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3> 9?3#  
Q:6dB_W%  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] YRz VT:>,G  
99j*>!5  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] e0hhU J 2  
.X,:iJ  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 44ZM {-t  
]Ed itB  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) hIR.!mm:1  
FR)Gk3<F4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) vg5lTKTO  
baPl  
积化和差 xd~o') u  
zD5+y8\  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] T+@rQE :  
-jd;^rwc8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9%i OGO  
+yNCTX  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #t{V leu  
(c$zj9wE  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] B|{`nXK0  
j4Q9Bf  
诱导公式 ]OE L+RG8  
&3Ih~7`RyH  
　　sin(-α) = -sinα r $ MqXZ  
<;  
　　cos(-α) = cosα FKOMRdk/d  
>wT3v919  
　　sin(π/2-α) = cosα _Dk}SC+<l8  
;I!D$  
　　cos(π/2-α) = sinα HMZ<=~k!  
[ n~x3>Q O  
　　sin(π/2+α) = cosα Y:,N kW  
#h%!`R>  
　　cos(π/2+α) = -sinα CL'JUvNTa  
s&L^  
　　sin(π-α) = sinα _nHA*3n  
j2AQhNT vK  
　　cos(π-α) = -cosα E <5_93cB  
_Rm V  
　　sin(π+α) = -sinα 2)0YN>Sz  
SvVRb/4  
　　cos(π+α) = -cosα T8y"y< ]  
>TuAfeec  
　　tanA= sinA/cosA :-?e-EaM!!  
Rv%[X/  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Tm2=FdHw  
4pJ[Af0  
　　tan（π/2－α）＝cotα uXZQOldu  
5s_" "I &  
　　tan（π－α）＝－tanα L!mab,|  
^@GM1  
　　tan（π＋α）＝tanα 0WP:KV`0 u  
qM0qGZuzR  
万能公式 (F+cc   
mC vo_asz  
　　 2Nu$A  
?R;KbuVV  
其它公式 Lo8b [  
o,U7p.W{lw  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 eX*nN:  
2R[Sl,E  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 A2Qd;5   
89e>9`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 {mR7el{2  
e"}6qqm  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 7"8nb $2n  
]"@8J _  
　　对于任意非直角三角形,总有 $VRaYb;q9  
+ \MHOw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC hPhzq[$  
_X`@gcDD  
　　证: q6YnI f u  
q>PWV)*Lxd  
　　A+B=π-C \/{z*w^  
O ~b[d  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Y Ukh[Z_"  
ZAK<{ ~%s  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) p;}-_]  
Yh;jU^  
　　整理可得 k]0lw*  
ZH^q@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC dQ[=^$R?4  
T0#J".LT?k  
　　得证 &Cd}nmx  
@LUvr5 U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 OM.]ZUT  
a'xOV+cw*h  
其他非重点三角函数 y7+<TTw  
&.z:h0"zv  
　　csc(a) = 1/sin(a) ze lY#-c  
;q; ZZPR  
　　sec(a) = 1/cos(a) H~ 5#kH  
3.>n|PbRxm  
　　 gX!}rIJS;V  
*-.K!  
双曲函数 t*^)GFwK  
k:]9 dR  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,K-#4O  
E]B,:)rWL  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 k]HA&bO1=  
l/we,>A  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) r0}#Fp@S  
Tgi?kn+"9F  
　　公式一： 9FB.Y Y*IF  
Q{ewy84  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Lh0:O   
B]`P?f t  
　　sin（2kπ＋α）= sinα UY'1 \  
By"Nw  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `9b )fX  
\{H .Lx4  
　　tan（kπ＋α）= tanα 2xykV  
,AzyW~+  
　　cot（kπ＋α）= cotα &o"_zZk  
!+ %OK*l5  
　　公式二： "PLM .d^Cf  
. &`\zj  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ks\9OdZ  
kU <|:/  
　　sin（π＋α）= -sinα Y RT4M  
3LU"57\7  
　　cos（π＋α）= -cosα EK1{;J(  
y]Z#@wT:  
　　tan（π＋α）= tanα 2MUOHJS|q  
pnb MF9r  
　　cot（π＋α）= cotα OC%d11##  
XHM+1# e  
　　公式三： # a[+*|  
cz $r`px  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： djGl?5'  
m\mlqo  
　　sin（-α）= -sinα I! JUPm  
ZmM0CIkW8  
　　cos（-α）= cosα Ov >>O/[  
9br/$XyR]  
　　tan（-α）= -tanα "#dI|0#s  
. le%ASsQ=  
　　cot（-α）= -cotα SBFpH)u  
Oz(ni1>z  
　　公式四： @qzSr&3b  
iQ%ufoC  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,[>F|k O  
=E&Q1 cb  
　　sin（π-α）= sinα R <%W%  
`dVK%cYg  
　　cos（π-α）= -cosα >5/0mp7|Q  
< ]4r*ou  
　　tan（π-α）= -tanα {N1C-[H!%  
)0}a"{  
　　cot（π-α）= -cotα c|/`evXG  
w_"[W#w3&e  
　　公式五： Sc,w$&"@  
*{25#=/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `\_<p\  
v8 K~%3  
　　sin（2π-α）= -sinα exKA#;Z\  
>}mH+M  
　　cos（2π-α）= cosα K$mR" Iqx  
&n [`8a  
　　tan（2π-α）= -tanα ,.<"aJ  
=X K J|xHC  
　　cot（2π-α）= -cotα M%">O!'X  
a{p.0 jm/  
　　公式六： YqoII]w#lA  
(bVi^uH  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： mV/P7P\h  
7o|I8P*u;  
　　sin（π/2+α）= cosα {+8ajJQ^  
3a7{)os&   
　　cos（π/2+α）= -sinα ejzc#N_  
1X]%<<9  
　　tan（π/2+α）= -cotα /.[F1QgQ  
xFb^GvMS(  
　　cot（π/2+α）= -tanα -9_&)ZmR 5  
Ry$Y@J  
　　sin（π/2-α）= cosα q 2IlaU^  
G4~[[u  
　　cos（π/2-α）= sinα Ky@-4U1 )  
p +K  
　　tan（π/2-α）= cotα L1Q,&xu~  
/C>uPveVh  
　　cot（π/2-α）= tanα 4;\i#3Jub  
5zF9@Sqa|  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]0o{J? z  
9 A87Y [  
　　cos（3π/2+α）= sinα pLK,_S)  
N8GADVo`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα h<)"O6Wp8w  
W"e(^k: e  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Vk'%\  
N}&LKB@{  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 9%>[.bo yA  
T]O &|@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα WW6\.g#$wd  
fEAwcZrO%  
　　tan（3π/2-α）= cotα TFi$B.*  
eTk(CN  
　　cot（3π/2-α）= tanα dOHHi+(J  
`ItzI5)0>  
　　(以上k∈Z) (m_d&X r  
CY2InLyl  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 rpvdGO!  
foptP!O= ;  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #BzIR.s.9g  
cF&hq%_  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \Vr@$\;  
083g%Ewad  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15439) |  收藏