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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $^GDqk|\  
"W?P5JBrsu  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. d _a  
| o7l:hR  
　　1、三角函数本质： q?$oTa&l$*  
)uhb5d  
　　三角函数的本质来源于定义 jzo@o-'  
(97AJP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 :[5p9$ZO)  
m@`nsG  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 >'iwu7  
#<udU+58  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wY1g|\'u  
/ed?Tf7DA  
　　推导： =&5[0yH  
((-.QR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 e9=|;< e3s  
P9Y7qSQ |  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ~X"][`=  
MF9auTK  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) DoT^Da5*  
X fAe$ ,  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <(9~m w!?D  
@()p_m  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） <tZvmW[  
A<7yEBS#  
　　[1] f^xTl<SQ_  
c&fi`K1E[  
　　两角和公式 X 8.o+I{  
{ {FLSa  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB G}y%VRE5r  
)1M5[n{z=|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  gL3<ywyc  
54 (1Cq1@  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB iuo l@;"  
>\xrlIHd  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB KZi(eJ?T2  
I%z&R/G  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) %9*b2u_@es  
K97f(8" ]_  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) .*8j2  
_a/?;`,k  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  atZb<Z(S  
,flxXl}N  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 'GF2gj?w%  
,WFr ~fWI  
倍角公式 7SJ/eC  
*{>"MO/yH  
　　Sin2A=2SinA•CosA 3BN)ebv  
=#A Q]  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 </PDJNU,  
#' vlNc"O  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2）  {sGSX\  
2"ay  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 6zy[i 0  
e*9tQ*kT  
三倍角公式 #`'qN=%F  
d_b72cQ*  
　　 @=S   
};s <Ks  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) }Hj|JB@ D  
_31nv?M'51  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 7- 3W~l  
kkKU79x \  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) L%Y!jEN;'  
$_LR_z7EZ  
三倍角公式推导 vSxB{DZ   
RsbM,|  
　　sin3a ;S@(Sf  
[=9\f=N>a  
　　=sin(2a+a) T:@IWe  
a4YF<c  
　　=sin2acosa+cos2asina <TaT 0_  
5\ob)T\dd  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina N8v)fo{ns  
R&/3-i+  
　　=3sina-4sin³a "`6Jcu Nd  
ax#mOd h  
　　cos3a E #l.*6 F  
ba(9YZRY{  
　　=cos(2a+a) >Xk5c:1  
bHF-KHo  
　　=cos2acosa-sin2asina :3QE:Vw  
%3t~ v'D  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ZTc}*hQgD6  
7| ["BE  
　　=4cos³a-3cosa !EJ !6S;P  
pjy-G2?0  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,h>pb`_I  
CsyC</j@s  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^9XN;e~y  
8YN}bQ:V  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J/Gw)]+C  
#uyG1!W]  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) $kdb|wI-"1  
drI~<  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |CqnS!HJ*  
a`EQcu Z  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ><M=  a  
te6-#Ts>0  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) O zyGPw  
ZZc7 {L4"  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 74vE !SK%  
sexh <"E-X  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 3MGdi5>  
aag# [%?Z!  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @E2~i;t4   
;DlAo7o  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) (k4u0i4  
MkX0<$  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ij^QM@f  
uP507rOoH  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ky 3<["F<  
,ON+@   
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) EPle~9iS$n  
:{N)'@1Z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] L77?5+do@  
"}&Jw2R  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -!B+ e#  
b8ovEP%  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Aj%K|A,@  
GsG8^tHV  
　　上述两式相比可得 >)//)K  
Mg_ 7o,  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) fBT2hZeE  
2Tz9pbd  
半角公式 _!)R'&B>  
b qtCIz~3T  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ;MEOTn*v  
L=Dn   
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. K'[5a|<v  
)ivjsGj|+  
和差化积 b5*^(l1(  
;/%V9;Di  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~]e0>#=5  
X2ccc"KK  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ';^"et9  
zNcGK&p  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Cy5"dKR  
["4eUE2}3  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b`'Yl  
}\E`cIks  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) |d2F v3  
 z`+]KTK  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0:|c\3w  
2TL_NPZCo  
积化和差 4RE3s:m  
{>[:(Bf}  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] g$2Co?SVP  
x|dk7vq  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 88S-T[&  
nm^;R7Mc  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {xts\  
>Ho7rB*(V  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] `z L=Y2W  
Ltoq' uct  
诱导公式 s,t24lb  
t>RdO,n-:  
　　sin(-α) = -sinα %9j!(# Q  
AvMhKmKB  
　　cos(-α) = cosα :gt?;7  
Q^d)#Q  
　　sin(π/2-α) = cosα NLFio:  
&V]zA1[  
　　cos(π/2-α) = sinα J<\4El  
tP3vU=  
　　sin(π/2+α) = cosα &\Y%?~!#  
"{_l9! oI  
　　cos(π/2+α) = -sinα -vB7+-u+  
aya|m[q  
　　sin(π-α) = sinα sc(%zu.@  
nYPa4TL0P  
　　cos(π-α) = -cosα y@1D*oC=  
z.|=r  
　　sin(π+α) = -sinα q$yU';,C  
?A$<W1f  
　　cos(π+α) = -cosα 4p G}i=f+#  
>$^ot>Xi:  
　　tanA= sinA/cosA {V[-~:iQ\|  
]Zv$A27#r#  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Y9C7~  
Gv4o`  
　　tan（π/2－α）＝cotα [A{V)Q@  
`#S)JE$d\  
　　tan（π－α）＝－tanα KqJr'[g  
>OmgXgA  
　　tan（π＋α）＝tanα x^B)mMr r1  
1zC)W0  
万能公式 8WBeo(HI  
HnO mm1y?  
　　 Fpq (Dad  
79VAnP^cr  
其它公式 +%O *Qj^  
4 Jj4#^F  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 zM2& a+-  
*Rue+e.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 M mpK|l  
=dzDQi  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 "`X+*yJ  
^'pl!4<`  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 iu8bFv  
Y*yAu;-y  
　　对于任意非直角三角形,总有 UH<". cw  
~Z AviL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .w6X7\6($  
iAU+nT@L  
　　证: >[dt^[T  
I[{N<[gu  
　　A+B=π-C wndV/U%:@  
a<jT"sl  
　　tan(A+B)=tan(π-C) n0%$wI+  
lQ jk@mH"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) #V]vNP \  
Mk3y u  
　　整理可得 ; C]UYEM]  
zl\= ^r_W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {b_e84c  
j>_,$:<  
　　得证 m, ~p`#  
&E28R Sh  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 {oDw)R^K  
X^\A  
其他非重点三角函数 |BAT TYE  
n[t |&.)  
　　csc(a) = 1/sin(a) ~FN "Wh]  
'o };5  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3D)A_C's  
UtM4hS'  
　　 f`?}] [z}  
'Y`pZ  
双曲函数 G): Hfqy  
f{O?c  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4N3G<(.wKS  
17E|{E5 2  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0P/f[ww  
f&uw P+o  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) f7Zz/,*nce  
6"D/q~QA  
　　公式一： QX?b^ x~>  
3_vRE>i:ut  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： BgO^  
&r<:ZF9f  
　　sin（2kπ＋α）= sinα NlpX%BSsMD  
OE`lwKk  
　　cos（2kπ＋α）= cosα o(!oAt^  
hqHq2usV  
　　tan（kπ＋α）= tanα Y5o H3  
? wbN}uT  
　　cot（kπ＋α）= cotα /_sX~< ![  
ZgL* /t+  
　　公式二： cgxDSK  
' zl`,g6  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： N7|K@1?dC  
w&/MQVb  
　　sin（π＋α）= -sinα V1g`<b  
\x~i@kP}+  
　　cos（π＋α）= -cosα )Rg7(gn)  
*9%UdX)  
　　tan（π＋α）= tanα +9AjS>F_  
}E`mGy/  
　　cot（π＋α）= cotα Q7BX1u[j  
zxR?'EOW~  
　　公式三： uy:JfSI.  
}6{a5~Z7  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： K[IZG#|{  
 "gtuw  
　　sin（-α）= -sinα %fD7](%F  
(Q47 >  
　　cos（-α）= cosα /4Cn4w${Q  
Yo|Smvr  
　　tan（-α）= -tanα o]U)~umv  
!Sn%#^|J@m  
　　cot（-α）= -cotα H]6o(qD@  
YNGku]!;  
　　公式四： j$T [O>  
H"+3WcJ  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7LR:,l{r  
v502e hJf  
　　sin（π-α）= sinα ]lxVw/eS7  
ZKlM~.  
　　cos（π-α）= -cosα r03^C] wH  
?Z6e?s&}s  
　　tan（π-α）= -tanα Z< E~kCy  
MuKk `/bF  
　　cot（π-α）= -cotα 1u!wFSN\,L  
yLZu%K;gI|  
　　公式五： mF17_h|  
yF'|c8-!7  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： y,m*6+~  
d [l||1  
　　sin（2π-α）= -sinα :A Skstm.T  
fEu@F5q9'1  
　　cos（2π-α）= cosα E0#x`2  
){ [|f|'  
　　tan（2π-α）= -tanα HV""k^k  
A~~. V<m  
　　cot（2π-α）= -cotα pS.Lf"o2;  
IGk%HRN`  
　　公式六： 0_:/+{4  
gZxZM<zc[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： of_h+Y]"=  
7Ct @ xWiF  
　　sin（π/2+α）= cosα z gs' G  
h/4vEf8X  
　　cos（π/2+α）= -sinα uI|E-8=OT  
Ao1(RzC:  
　　tan（π/2+α）= -cotα n]52  
N)n h0a8Aa  
　　cot（π/2+α）= -tanα #;.<<S`vT  
|tptc  
　　sin（π/2-α）= cosα i C TZ  
j(oYrl_I  
　　cos（π/2-α）= sinα Nwor}h  
E2o`.  
　　tan（π/2-α）= cotα OEpq8c7  
jD'fISX  
　　cot（π/2-α）= tanα %&v<><sUh  
` ]gdr8*M  
　　sin（3π/2+α）= -cosα QrY5z!<K  
Ha'q  
　　cos（3π/2+α）= sinα |nVYXQFa  
Ny,klT;[yH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα I_B4G8o4  
~^5Ue{*  
　　cot（3π/2+α）= -tanα U[4~kTy#0  
;80h<WH  
　　sin（3π/2-α）= -cosα GM sy"-  
'F )2a:BI  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 0L1B`hXk  
3&OH>/#k4  
　　tan（3π/2-α）= cotα `W}@jpR  
0CT"K VW  
　　cot（3π/2-α）= tanα 6 iV-s!}#.  
}E*IV2B  
　　(以上k∈Z) DJya7d~L  
 .?7 Z  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ,W sTg.@(  
ImLoQQ9  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .xl1-~f  
 =vH )  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d=YDF$S  
)uVh~KdUD  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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